微分法


課題 できてないこと（業者に頼む？）



東京自動車は全国の自動車の40%を販売する売上ナンバー1企業である。 しかし、売上2番手の本木自動車が追い上げており、このままでは 追いつかれてしまいそうな勢いである。 そこで、東京自動車の社長はなんとしても売上ナンバー1は譲れないと決意し、 売上が最大となるよう販売するようにと営業部に指令を出した。

あなたが営業部長ならどうする？
  1. 社長命令を無視して何もしない
  2. 大幅値下げして売りまくる
  3. ちょっとだけ値下げしてみる
  4. 値上げして利益増を目指す



「おまえなんかクビだ！」
と社長に言われてしまいました。

戻って選び直す


東京自動車は全国の自動車の40%を販売する売上ナンバー1企業である。 しかし、売上2番手の本木自動車が追い上げており、このままでは 追いつかれてしまいそうな勢いである。 そこで、東京自動車の社長はなんとしても売上ナンバー1は譲れないと決意し、 売上が最大となるよう販売するようにと営業部に指令を出した。

あなたの選んだ選択肢を検討してみましょう。

売上とは、 1台あたりの価格に販売量を掛けたものです。 式で表現すると以下のようになります。

売上（y円）＝ 価格（x円） × 販売量（z個）

売上は、価格と販売量との関係なので、問題はおおざっぱに言えば

  1. 安い価格でたくさん売るか、
  2. 少量でも高い価格で売るか

のどちらが適切か、ということになります。

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  1. 安い価格でたくさん売るか、
  2. 少量でも高い価格で売るか

このどちらが良いのかを決定するためには、 価格と販売量の関係がどのようになっているのかを分析する必要があります。

営業部で過去のデータを調査したところ、販売量（z個）と価格（x円）の間には次の式で 表されるような関係があることが分かりました。

z = 100 - 1/2 x    （zは販売量、xは価格）

まずは、この販売量と価格の関係を分析してみましょう。

上の式 z = 100 - 1/2 x からどのようなことが分かりますか？ 当てはまるものをすべて選んでください。
  1. 価格を上げると販売量は減る
  2. 価格を下げると販売量は増える
  3. 価格を上げると販売量は増える
  4. 価格を下げると販売量は減る
  5. 価格を上げても販売量は変わらない
  6. 価格を下げても販売量は変わらない



正解！ その通りです。




z = 100 - 1/2 x    （zは販売量、xは価格）

残念ながら不正解です。

販売量と価格の関係を、グラフを描いて考えてみましょう。

z = 100 - 1/2 x のグラフを描いてください。

（ヒント）
  1. z = 100 - 1/2 x は1次関数ですが、1次関数のグラフは直線になります。
  2. x=0のとき、z= □
  3. x=100のとき、z= □
  4. x=200のとき、z= □
  5. 点を直線で結ぶ


ここにグラフを描く
（ヒント）の点をプロットさせて、直線で結ばせる。



正解で次へ進む




ここにグラフを描く
（ヒント）の点をプロットさせて、直線で結ばせる。

正解です。

上の図のように、1次関数のグラフは一般に、右上がりまたは右下がりの 直線になります。 われわれの右上がりのグラフからは、

ことがわかります。 したがって、以下のことが読みとれます。
  1. 価格を上げると販売量は減る
  2. 価格を下げると販売量は増える

「1次関数」の説明は、教科書？？？？？にあります。

1次関数のグラフを描く練習問題へ
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販売量と価格の関係がわかったところで、 もとの問題に戻って売上と価格の問題について考えてみましょう。

東京自動車は全国の自動車の40%を販売する売上ナンバー1企業である。 しかし、売上2番手の本木自動車が追い上げており、このままでは 追いつかれてしまいそうな勢いである。 そこで、東京自動車の社長はなんとしても売上ナンバー1は譲れないと決意し、 売上が最大となるよう販売するようにと営業部に指令を出した。

営業部長であるあなたは

  1. 安い価格でたくさん売るか、
  2. 少量でも高い価格で売るか
を決定しなければなりません。

売上は以下の式で与えられます。

売上（y円）＝ 価格（x円） × 販売量（z個）

販売量z個と価格x円の関係は以下の式で与えられます。

z = 100 - 1/2 x    （zは販売量、xは価格）

販売量zと価格xの関係を利用して、 売上yと価格xの関係を考えてみましょう。

売上y円を価格x円の式で表してください。

y = □x□ + □x


（ヒント）売上を表す式y = x × z の z に、z =100 -1/2 x を代入して、展開してください。

「式の展開」の説明は、教科書？？？？？にあります。

「式の展開」練習問題へ
正解で次に進む


正解です。

売上yと価格xの関係は以下の2次式で表すことができます。

y = -1/2 x2 + 100x    （yは売上、xは価格）

ここで、

  1. 安い価格でたくさん売るか、
  2. 少量でも高い価格で売るか
について考えてみましょう。 現在の価格は x = 120 円とします。

  1. 思いっきり値下げして、価格を x = 50 とすると売上 y はどうなりますか？ x = 50 のとき、y = □
  2. 価格を上げて x = 150 とすると売上 y はどうなりますか？ x = 150 のとき、y = □
  3. 中間をとって x = 100 とすると売上 y はどうなりますか？ x = 100 のとき、y = □

「2次関数」の説明は、教科書？？？？？にあります。

正解で次に進む


正解です！

y = -1/2 x2 + 100x    （yは売上、xは価格）

  1. 安い価格でたくさん売るか、
  2. 少量でも高い価格で売るか
（現在の価格は x = 120 円です。）

  1. 思いっきり値下げして、価格を x = 50 とすると売上は、y = 3750 円となります。
  2. 価格を上げて x = 150 とすると売上は、y = 3750 円となります。

    3. この結果を見ると、安い価格でたくさん売っても、少量を高い価格で売っても、 売上は変わらないようです。 ところが、

  3. 中間をとって x = 100 とすると売上は、y = 5000 円となります。

現在の価格120円から少しだけ値下げして、価格を100円とすると、 売上は上がるようです。

それでは、 売上が最大になるような、もっとも適切な価格はいくらなのでしょうか？

売上が最大になるような、もっとも適切な価格を求めるためにはどうすればいいですか？
  1. 上の比較からx = 100 円で決まり！
  2. -1/2 x2 + 100x = 0 となる x の値を求める。
  3. y = -1/2 x2 + 100x を微分して、y' = 0 となる x の値を求める。
  4. y = -1/2 x2 + 100x のグラフを描く。
  5. y = -1/2 x2 + 100x の式を平方完成する。



x = 50やx = 150 のときよりも、 確かに x = 100 のときの方が売上 y の値は大きくなりますが、 これだけでは x = 100 のときに y は最大値をとるとは言えません。

戻って選び直す。


-1/2 x2 + 100x = 0 となる x の値を求めることは、 グラフで言えば2次関数 y = -1/2 x2 + 100x と x 軸の交点を求めることですが、 これでは y の値を最大にする x の値は求められません。

戻って選び直す。


y = -1/2 x2 + 100x のグラフを描いたり、 平方完成をすることでも、 y の値を最大にする x の値は求めることができます。 しかし、微分法を使えば、わざわざグラフを描かなくても最大値を求めることができます！ また微分法は、もっと複雑な一般の関数のグラフを描くためにも必要な道具です。 また、平方完成は2次関数にしか使えませんが、微分法は もっと複雑な一般の関数にも使えます。 ここでは、微分法を使う練習をしましょう。

次に進む。


y = -1/2 x2 + 100x    （yは売上、xは価格）

売上が最大になるような、もっとも適切な価格を求めてみましょう。

そのためには、式 y = -1/2 x2 + 100x を微分します。

式 y = -1/2 x2 + 100x を x について微分してください。
  1. y' = □
  2. 微分ってなに？



正解です！

y = -1/2 x2 + 100x    （yは売上、xは価格）

を x について微分すると、以下のようになります。

y' = -x + 100

売上 y を最大にする価格 x は、 y' = 0 となるときの x の値です。すなわち、以下の方程式を解くことで 求めることができます。

-x + 100 = 0

売上 y が最大になるような、もっとも適切な価格はいくらですか？

売上が最大になるのは、価格 x = □ 円のとき。 また、そのとき売上は y = □ 円である。

「関数の微分」の説明は、教科書？？？？？にあります。




正解！

最後にもう一度問題を復習しておきましょう。
東京自動車は全国の自動車の40%を販売する売上ナンバー1企業である。 しかし、売上2番手の本木自動車が追い上げており、このままでは 追いつかれてしまいそうな勢いである。 そこで、東京自動車の社長はなんとしても売上ナンバー1は譲れないと決意し、 売上が最大となるよう販売するようにと営業部に指令を出した。 営業部長であるあなたはどうすれば良いでしょうか？
売上とは、 1台あたりの価格に販売量を掛けたものです。 式で表現すると以下のようになります。

売上（y円）＝ 価格（x円） × 販売量（z個）

営業部で過去のデータを調査したところ、販売量（z個）と価格（x円）の間には次の式で 表されるような関係があることが分かりました。

z = 100 - 1/2 x    （zは販売量、xは価格）

売上yと価格xの関係は以下の2次式で表すことができます。

y = -1/2 x2 + 100x    （yは売上、xは価格）

ここで、

  1. 安い価格でたくさん売るか、
  2. 少量でも高い価格で売るか
について考えてみましょう。 現在の価格は x = 120 円とします。

売上が最大になるような、もっとも適切な価格を求めてみましょう。

そのためには、式 y = -1/2 x2 + 100x を微分します。

y = -1/2 x2 + 100x を x について微分すると、以下のようになります。

y' = -x + 100

売上 y を最大にする価格 x は、 y' = 0 となるときの x の値です。すなわち、以下の方程式を解くことで 求めることができます。

-x + 100 = 0

結局、x = 100 円のときに売上 y は最大となり、 そのとき y = 5000 円です。

したがって、営業部長であるあなたは、 現在の価格120円から20円価格を下げて、

100円で売ることを社長に提案すれば、昇進間違いなし、 ということです。

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